Points sur un cercle - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points  \(\text A(-1+i), \text B(1-i), \text C(-2-\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})i\)  et `\text D(2-\sqrt{3} + (-2-\sqrt{3})i` .  Montrer que les points \(\text A,\text B,\text C\) et \(\text D\)  appartiennent au même cercle de diamètre \([\text C\text D]\) .

Solution

On note \(\text E\) le milieu de \([\text C\text D]\) .
On a :  \(z_\text E = \dfrac{Z_\text C+Z_\text D}{2} = \dfrac{-2-\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})i + 2-\sqrt{3} + (-2-\sqrt{3})i}{2} = -\sqrt{3} (1+i)\)

On calcule \(\text E\text A, \text E\text B, \text E\text C\) et \(\text E\text D\) .
On a : \(z_{\overrightarrow{\text E\text D}} = z_\text D - z_\text E = 2-\sqrt{3} + (-2-\sqrt{3})i - ( - \sqrt{3} (1+i) )= 2-\sqrt{3} + (-2-\sqrt{3})i + \sqrt{3} + \sqrt{3}i= -2 + 2i\) .
Donc \(\text E\text D = \sqrt{(-2)^2 +2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) .

De même, on montre que \(\text E\text C = 2 \sqrt{2}\) .
On a :  \(z_\text A - z_\text E = -1+i -( - \sqrt{3} (1+i) )= -1+i + \sqrt{3} + \sqrt{3}i= -1+\sqrt{3} +i (1+\sqrt{3})\)
Donc \(\text A\text E = \sqrt{(-1+\sqrt{3})^2 + (1+\sqrt{3})^2}= \sqrt{1+3+1+3} = 2 \sqrt{2}\) .
Donc \(\text E\text A =\text E\text B =\text E\text C = \text E\text D = 2 \sqrt{2}\) .

Donc les points \(\text A, \text B, \text C\)  et \(\text D\) appartiennent au même cercle de diamètre \([\text C\text D]\)  ; c'est le cercle de centre \(\text E(-\sqrt{3} - i \sqrt{3})\) et de rayon \(2\sqrt{2}\) .